Xác Định Cặp Số Là Nghiệm Của Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn

Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Dưới đây là 3 phương pháp phổ biến để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, kèm công thức và ví dụ minh họa.

1. Phương Pháp Thế

Công thức nhớ:

• Bước 1: Từ một phương trình, biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại.

• Bước 2: Thế biểu thức vừa tìm vào phương trình thứ hai để tìm ẩn thứ nhất.

• Bước 3: Thay giá trị ẩn vừa tìm vào biểu thức ở Bước 1 để tìm ẩn còn lại.

Ví dụ:
Giải hệ phương trình:

{2x+y=5(1)x−y=1(2){2x+y=5(1)x−y=1(2)​

Bước 1: Từ (2), suy ra $x=y+1$.
Bước 2: Thế $x=y+1$ vào (1):

$$2(y+1)+y=5\Rightarrow 3y+2=5\Rightarrow y=1.$$

Bước 3: Thay $y=1$ vào $x=y+1\Rightarrow x=2$.
Kết luận: Nghiệm là $(2,1)$.

2. Phương Pháp Cộng Trừ (Khử Ẩn)

Công thức nhớ:

• Bước 1: Nhân các phương trình với số phù hợp để hệ số của một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.

• Bước 2: Cộng hoặc trừ hai phương trình để khử ẩn đó.

• Bước 3: Giải phương trình một ẩn, sau đó tìm ẩn còn lại.

Ví dụ:
Giải hệ phương trình:

{3x+2y=8(1)2x−2y=2(2){3x+2y=8(1)2x−2y=2(2)​

Bước 1: Cộng (1) và (2):

$$(3x+2y)+(2x-2y)=8+2\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2.$$

Bước 2: Thay $x=2$ vào (2):

$$2\cdot 2-2y=2\Rightarrow 4-2y=2\Rightarrow y=1.$$

Kết luận: Nghiệm là $(2,1)$.

3. Quy Tắc Cramer

Công thức nhớ:
Cho hệ phương trình:

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2{a1​x+b1​y=c1​a2​x+b2​y=c2​​

• Tính định thức:

  D=a1b2−a2b1,Dx=c1b2−c2b1,Dy=a1c2−a2c1.D=a1​b2​−a2​b1​,Dx​=c1​b2​−c2​b1​,Dy​=a1​c2​−a2​c1​.

• Nghiệm:

  x=DxD,y=DyD(neˆˊu D≠0).x=DDx​​,y=DDy​​(neˆˊu D=0).

Ví dụ:
Giải hệ phương trình:

{2x+3y=12(1)x−y=1(2){2x+3y=12(1)x−y=1(2)​

Bước 1: Tính định thức:

D=2⋅(−1)−1⋅3=−5,Dx=12⋅(−1)−1⋅3=−15,Dy=2⋅1−1⋅12=−10.D=2⋅(−1)−1⋅3=−5,Dx​=12⋅(−1)−1⋅3=−15,Dy​=2⋅1−1⋅12=−10.

Bước 2: Tìm nghiệm:

x=−15−5=3,y=−10−5=2.x=−5−15​=3,y=−5−10​=2.

Kết luận: Nghiệm là $(3,2)$.

5 Ví Dụ Luyện Tập

Ví dụ 1 (Phương pháp thế):
Giải hệ:

{x+2y=43x−y=5{x+2y=43x−y=5​

Giải:

• Từ phương trình 1: $x=4-2y$.

• Thế vào phương trình 2: $3(4-2y)-y=5\Rightarrow 12-7y=5\Rightarrow y=1$.

• Suy ra $x=2$.
  Nghiệm: $(2,1)$.

Ví dụ 2 (Phương pháp cộng trừ):
Giải hệ:

{4x+3y=102x−y=3{4x+3y=102x−y=3​

Giải:

• Nhân phương trình 2 với 3: $6x-3y=9$.

• Cộng với phương trình 1: 10x=19⇒x=191010x=19⇒x=1019​.

• Thay x=1910x=1019​ vào phương trình 2: y=45y=54​.
  Nghiệm: (1910,45)(1019​,54​).

Ví dụ 3 (Hệ số phân số):
Giải hệ:

{12x+y=3x−13y=5⎩⎨⎧​21​x+y=3x−31​y=5​

Giải:

• Nhân phương trình 1 với 2: $x+2y=6$.

• Nhân phương trình 2 với 3: $3x-y=15$.

• Giải hệ mới bằng phương pháp thế hoặc cộng trừ.
  Nghiệm: (367,37)(736​,73​).

Ví dụ 4 (Hệ vô nghiệm):
Giải hệ:

{2x+y=44x+2y=7{2x+y=44x+2y=7​

Giải:

• Nhân phương trình 1 với 2: $4x+2y=8$.

• So sánh với phương trình 2: $4x+2y=7$.

• Hệ vô nghiệm vì 8≠78=7.

Ví dụ 5 (Hệ vô số nghiệm):
Giải hệ:

{x+2y=32x+4y=6{x+2y=32x+4y=6​

Giải:

• Phương trình 2 là bội của phương trình 1 ($\times 2$).

• Hệ vô số nghiệm dạng $x=3-2y$ (với $y\in \mathbb{R}$).